数学

被参照情報

'教科がある'としての参照元:

高等学校学習指導要領 2009年3月 告示

'教科等'としての参照元:

第４節　数　　　学

第１款　目標 　数学的活動を通して，数学における基本的な概念や原理・法則の体系的な理解を深め，事象を数学的に考察し表現する能力を高め，創造性の基礎を培うとともに，数学のよさを認識し，それらを積極的に活用して数学的論拠に基づいて判断する態度を育てる。

第２款　各　科　目

第１　数学Ⅰ

１　目標 　数と式，図形と計量，二次関数及びデータの分析について理解させ，基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り，事象を数学的に考察する能力を培い，数学のよさを認識できるようにするとともに，それらを活用する態度を育てる。

２　内容

(1) 数と式 　数を実数まで拡張する意義や集合と命題に関する基本的な概念を理解できるようにする。また，式を多面的にみたり処理したりするとともに，一次不等式を事象の考察に活用できるようにする。

ア　数と集合

(ア) 実数 　数を実数まで拡張する意義を理解し，簡単な無理数の四則計算をすること。

(イ) 集合 　集合と命題に関する基本的な概念を理解し，それを事象の考察に活用すること。

イ　式

(ア) 式の展開と因数分解 　二次の乗法公式及び因数分解の公式の理解を深め，式を多面的にみたり目的に応じて式を適切に変形したりすること。

(イ) 一次不等式 　不等式の解の意味や不等式の性質について理解し，一次不等式の解を求めたり一次不等式を事象の考察に活用したりすること。

(2) 図形と計量 　三角比の意味やその基本的な性質について理解し，三角比を用いた計量の考えの有用性を認識するとともに，それらを事象の考察に活用できるようにする。

ア　三角比

(ア) 鋭角の三角比 　鋭角の三角比の意味と相互関係について理解すること。

(イ) 鈍角の三角比 　三角比を鈍角まで拡張する意義を理解し，鋭角の三角比の値を用いて鈍角の三角比の値を求めること。

(ウ) 正弦定理・余弦定理 　正弦定理や余弦定理について理解し，それらを用いて三角形の辺の長さや角の大きさを求めること。

イ　図形の計量 　三角比を平面図形や空間図形の考察に活用すること。

［用語・記号］

正弦

sin

余弦

cos

正接

tan

(3) 二次関数 　二次関数とそのグラフについて理解し，二次関数を用いて数量の関係や変化を表現することの有用性を認識するとともに，それらを事象の考察に活用できるようにする。

ア　二次関数とそのグラフ 　事象から二次関数で表される関係を見いだすこと。また，二次関数のグラフの特徴について理解すること。

イ　二次関数の値の変化

(ア) 二次関数の最大・最小 　二次関数の値の変化について，グラフを用いて考察したり最大値や最小値を求めたりすること。

(イ) 二次方程式・二次不等式 　二次方程式の解と二次関数のグラフとの関係について理解するとともに，数量の関係を二次不等式で表し二次関数のグラフを利用してその解を求めること。

(4) データの分析 　統計の基本的な考えを理解するとともに，それを用いてデータを整理・分析し傾向を把握できるようにする。

ア　データの散らばり 　四分位偏差，分散及び標準偏差などの意味について理解し，それらを用いてデータの傾向を把握し，説明すること。

イ　データの相関 　散布図や相関係数の意味を理解し，それらを用いて二つのデータの相関を把握し説明すること。

〔課題学習〕 　(1)，(2)，(3)及び(4)の内容又はそれらを相互に関連付けた内容を生活と関連付けたり発展させたりするなどして，生徒の関心や意欲を高める課題を設け，生徒の主体的な学習を促し，数学のよさを認識できるようにする。

３　内容の取扱い

(1) 内容の(1)のアの(イ)については，簡単な命題の証明も扱うものとする。

(2) 内容の(2)のアの(イ)については，関連して0°，90°，180°の三角比を扱うものとする。

(3) 課題学習については，それぞれの内容との関連を踏まえ，学習効果を高めるよう適切な時期や場面に実施するとともに，実施に当たっては数学的活動を一層重視するものとする。

第２　数学Ⅱ

１　目標 　いろいろな式，図形と方程式，指数関数・対数関数，三角関数及び微分・積分の考えについて理解させ，基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り，事象を数学的に考察し表現する能力を養うとともに，それらを活用する態度を育てる。

２　内容

(1) いろいろな式 　整式の乗法・除法及び分数式の四則計算について理解できるようにするとともに，等式や不等式が成り立つことを証明できるようにする。また，方程式についての理解を深め，数の範囲を複素数まで拡張して二次方程式を解くこと及び因数分解を利用して高次方程式を解くことができるよ...

ア　式と証明

(ア) 整式の乗法・除法，分数式の計算 　三次の乗法公式及び因数分解の公式を理解し，それらを用いて式の展開や因数分解をすること。また，整式の除法や分数式の四則計算について理解し，簡単な場合について計算をすること。

(イ) 等式と不等式の証明 　等式や不等式が成り立つことを，それらの基本的な性質や実数の性質などを用いて証明すること。

イ　高次方程式

(ア) 複素数と二次方程式 　数を複素数まで拡張する意義を理解し，複素数の四則計算をすること。また，二次方程式の解の種類の判別及び解と係数の関係について理解すること。

(イ) 因数定理と高次方程式 　因数定理について理解し，簡単な高次方程式の解を因数定理などを用いて求めること。

［用語・記号］　

虚数

i

(2) 図形と方程式 　座標や式を用いて，直線や円などの基本的な平面図形の性質や関係を数学的に表現し，その有用性を認識するとともに，事象の考察に活用できるようにする。

ア　直線と円

(ア) 点と直線 　座標を用いて，平面上の線分を内分する点，外分する点の位置や二点間の距離を表すこと。また，座標平面上の直線を方程式で表し，それを二直線の位置関係などの考察に活用すること。

(イ) 円の方程式 　座標平面上の円を方程式で表し，それを円と直線の位置関係などの考察に活用すること。

イ　軌跡と領域 　軌跡について理解し，簡単な場合について軌跡を求めること。また，簡単な場合について，不等式の表す領域を求めたり領域を不等式で表したりすること。

(3) 指数関数・対数関数 　指数関数及び対数関数について理解し，それらを事象の考察に活用できるようにする。

ア　指数関数

(ア) 指数の拡張 　指数を正の整数から有理数へ拡張する意義を理解すること。

(イ) 指数関数とそのグラフ 　指数関数とそのグラフの特徴について理解し，それらを事象の考察に活用すること。

イ　対数関数

(ア) 対数 　対数の意味とその基本的な性質について理解し，簡単な対数の計算をすること。

(イ) 対数関数とそのグラフ 　対数関数とそのグラフの特徴について理解し，それらを事象の考察に活用すること。

［用語・記号］　

累乗根

logax

(4) 三角関数 　角の概念を一般角まで拡張して，三角関数及び三角関数の加法定理について理解し，それらを事象の考察に活用できるようにする。

ア　角の拡張 　角の概念を一般角まで拡張する意義や弧度法による角度の表し方について理解すること。

イ　三角関数

(ア) 三角関数とそのグラフ 　三角関数とそのグラフの特徴について理解すること。

(イ) 三角関数の基本的な性質 　三角関数について，相互関係などの基本的な性質を理解すること。

ウ　三角関数の加法定理 　三角関数の加法定理を理解し，それを用いて２倍角の公式を導くこと。

(5) 微分・積分の考え 　微分・積分の考えについて理解し，それらの有用性を認識するとともに，事象の考察に活用できるようにする。

ア　微分の考え

(ア) 微分係数と導関数 　微分係数や導関数の意味について理解し，関数の定数倍，和及び差の導関数を求めること。

(イ) 導関数の応用 　導関数を用いて関数の値の増減や極大・極小を調べ，グラフの概形をかくこと。また，微分の考えを事象の考察に活用すること。

イ　積分の考え

(ア) 不定積分と定積分 　不定積分及び定積分の意味について理解し，関数の定数倍，和及び差の不定積分や定積分を求めること。

(イ) 面積 　定積分を用いて直線や関数のグラフで囲まれた図形の面積を求めること。

［用語・記号］　

極限値

lim

３　内容の取扱い

(1) 内容の(1)のアについては，関連して二項定理を扱うものとする。

(2) 内容の(3)のイについては，常用対数も扱うものとする。

(3) 内容の(4)のウについては，関連して三角関数の合成を扱うものとする。

(4) 内容の(5)のアについては，三次までの関数を中心に扱い，イについては，二次までの関数を中心に扱うものとする。アの(ア)の微分係数については，関数のグラフの接線に関連付けて扱うものとする。また，極限については，直観的に理解させるよう扱うものとする。

第３　数学Ⅲ

１　目標 　平面上の曲線と複素数平面，極限，微分法及び積分法についての理解を深め，知識の習得と技能の習熟を図り，事象を数学的に考察し表現する能力を伸ばすとともに，それらを積極的に活用する態度を育てる。

２　内容

(1) 平面上の曲線と複素数平面 　平面上の曲線がいろいろな式で表されること及び複素数平面について理解し，それらを事象の考察に活用できるようにする。

ア　平面上の曲線

(ア) 直交座標による表示 　放物線，楕《だ》円，双曲線が二次式で表されること及びそれらの二次曲線の基本的な性質について理解すること。

(イ) 媒介変数による表示 　媒介変数の意味及び曲線が媒介変数を用いて表されることを理解し，それらを事象の考察に活用すること。

(ウ) 極座標による表示 　極座標の意味及び曲線が極方程式で表されることを理解し，それらを事象の考察に活用すること。

イ　複素数平面

(ア) 複素数の図表示 　複素数平面と複素数の極形式，複素数の実数倍，和，差，積及び商の図形的な意味を理解し，それらを事象の考察に活用すること。

(イ) ド・モアブルの定理 　ド・モアブルの定理について理解すること。

［用語・記号]　

焦点

準線

(2) 極限 　数列や関数値の極限の概念を理解し，それらを事象の考察に活用できるようにする。

ア　数列とその極限

(ア) 数列の極限 　数列の極限について理解し，数列｛rn｝の極限などを基に簡単な数列の極限を求めること。また，数列の極限を事象の考察に活用すること。

(イ) 無限等比級数の和 　無限級数の収束，発散について理解し，無限等比級数などの簡単な無限級数の和を求めること。また，それらを事象の考察に活用すること。

イ　関数とその極限

(ア) 分数関数と無理関数 　簡単な分数関数と無理関数及びそれらのグラフの特徴について理解すること。

(イ) 合成関数と逆関数 　合成関数や逆関数の意味を理解し，簡単な場合についてそれらを求めること。

(ウ) 関数値の極限 　関数値の極限について理解し，それを事象の考察に活用すること。

［用語・記号］

∞

(3) 微分法 　微分法についての理解を深めるとともに，その有用性を認識し，事象の考察に活用できるようにする。

ア　導関数

(ア) 関数の和・差・積・商の導関数 　関数の積及び商の導関数について理解し，関数の和，差，積及び商の導関数を求めること。

(イ) 合成関数の導関数 　合成関数の導関数について理解し，合成関数の導関数を求めること。

(ウ) 三角関数・指数関数・対数関数の導関数 　三角関数，指数関数及び対数関数の導関数を求めること。

イ　導関数の応用 　導関数を用いて，いろいろな曲線の接線の方程式を求めたり，いろいろな関数の値の増減，極大・極小，グラフの凹凸などを調べグラフの概形をかいたりすること。また，それらを事象の考察に活用すること。

［用語・記号］　

自然対数

e

第二次導関数

変曲点

(4) 積分法 　積分法についての理解を深めるとともに，その有用性を認識し，事象の考察に活用できるようにする。

ア　不定積分と定積分

(ア) 積分とその基本的な性質 　不定積分及び定積分の基本的な性質についての理解を深め，それらを用いて不定積分や定積分を求めること。

(イ) 置換積分法・部分積分法 　置換積分法及び部分積分法について理解し，簡単な場合についてそれらを用いて不定積分や定積分を求めること。

(ウ) いろいろな関数の積分 　いろいろな関数について，工夫して不定積分や定積分を求めること。

イ　積分の応用 　いろいろな曲線で囲まれた図形の面積や立体の体積及び曲線の長さなどを定積分を利用して求めること。

３　内容の取扱い

(1) 内容の(1)のアの(イ)及び(ウ)については，二次曲線や内容の(3)及び(4)で取り上げる曲線を中心に扱うものとし，描画においてはコンピュータなどを積極的に活用するものとする。

(2) 内容の(2)のイの(ウ)については，関連して関数の連続性を扱うものとする。

(3) 内容の(3)のイについては，関連して直線上の点の運動や平面上の点の運動の速度及び加速度を扱うものとする。

(4) 内容の(4)のアの(イ)については，置換積分法は と置き換えるものを中心に扱うものとする。また，部分積分法は，簡単な関数について１回の適用で結果が得られるものを中心に扱うものとする。

第４　数学Ａ

１　目標 　場合の数と確率，整数の性質又は図形の性質について理解させ，基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り，事象を数学的に考察する能力を養い，数学のよさを認識できるようにするとともに，それらを活用する態度を育てる。

２　内容

(1) 場合の数と確率 　場合の数を求めるときの基本的な考え方や確率についての理解を深め，それらを事象の考察に活用できるようにする。

ア　場合の数

(ア) 数え上げの原則 　集合の要素の個数に関する基本的な関係や和の法則，積の法則について理解すること。

(イ) 順列・組合せ 　具体的な事象の考察を通して順列及び組合せの意味について理解し，それらの総数を求めること。

イ　確率

(ア) 確率とその基本的な法則 　確率の意味や基本的な法則についての理解を深め，それらを用いて事象の確率を求めること。また，確率を事象の考察に活用すること。

(イ) 独立な試行と確率 　独立な試行の意味を理解し，独立な試行の確率を求めること。また，それを事象の考察に活用すること。

(ウ) 条件付き確率 　条件付き確率の意味を理解し，簡単な場合について条件付き確率を求めること。また，それを事象の考察に活用すること。

［用語・記号］

nPr

nCr

階乗

n!

排反

(2) 整数の性質 　整数の性質についての理解を深め，それを事象の考察に活用できるようにする。

ア　約数と倍数 　素因数分解を用いた公約数や公倍数の求め方を理解し，整数に関連した事象を論理的に考察し表現すること。

イ　ユークリッドの互除法 　整数の除法の性質に基づいてユークリッドの互除法の仕組みを理解し，それを用いて二つの整数の最大公約数を求めること。また，二元一次不定方程式の解の意味について理解し，簡単な場合についてその整数解を求めること。

ウ　整数の性質の活用 　二進法などの仕組みや分数が有限小数又は循環小数で表される仕組みを理解し，整数の性質を事象の考察に活用すること。

(3) 図形の性質 　平面図形や空間図形の性質についての理解を深め，それらを事象の考察に活用できるようにする。

ア　平面図形

(ア) 三角形の性質 　三角形に関する基本的な性質について，それらが成り立つことを証明すること。

(イ) 円の性質 　円に関する基本的な性質について，それらが成り立つことを証明すること。

(ウ) 作図 　基本的な図形の性質などをいろいろな図形の作図に活用すること。

イ　空間図形 　空間における直線や平面の位置関係やなす角についての理解を深めること。また，多面体などに関する基本的な性質について理解し，それらを事象の考察に活用すること。

〔課題学習〕 　(1)，(2)及び(3)の内容又はそれらを相互に関連付けた内容を生活と関連付けたり発展させたりするなどして，生徒の関心や意欲を高める課題を設け，生徒の主体的な学習を促し，数学のよさを認識できるようにする。

３　内容の取扱い

(1) この科目は，内容の(1)から(3)までの中から適宜選択させるものとする。

(2) 課題学習については，それぞれの内容との関連を踏まえ，学習効果を高めるよう適切な時期や場面に実施するとともに，実施に当たっては数学的活動を一層重視するものとする。

第５　数学Ｂ

１　目標 　確率分布と統計的な推測，数列又はベクトルについて理解させ，基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り，事象を数学的に考察し表現する能力を伸ばすとともに，それらを活用する態度を育てる。

２　内容

(1) 確率分布と統計的な推測 　確率変数とその分布，統計的な推測について理解し，それらを不確定な事象の考察に活用できるようにする。

ア　確率分布

(ア) 確率変数と確率分布 　確率変数及び確率分布について理解し，確率変数の平均，分散及び標準偏差を用いて確率分布の特徴をとらえること。

(イ) 二項分布 　二項分布について理解し，それを事象の考察に活用すること。

イ　正規分布 　正規分布について理解し，二項分布が正規分布で近似できることを知ること。また，それらを事象の考察に活用すること。

ウ　統計的な推測

(ア) 母集団と標本 　標本調査の考え方について理解し，標本を用いて母集団の傾向を推測できることを知ること。

(イ) 統計的な推測の考え 　母平均の統計的な推測について理解し，それを事象の考察に活用すること。

(2) 数列 　簡単な数列とその和及び漸化式と数学的帰納法について理解し，それらを事象の考察に活用できるようにする。

ア　数列とその和

(ア) 等差数列と等比数列 　等差数列と等比数列について理解し，それらの一般項及び和を求めること。

(イ) いろいろな数列 　いろいろな数列の一般項や和について，その求め方を理解し，事象の考察に活用すること。

イ　漸化式と数学的帰納法

(ア) 漸化式と数列 　漸化式について理解し，簡単な漸化式で表された数列について，一般項を求めること。また，漸化式を事象の考察に活用すること。

(イ) 数学的帰納法 　数学的帰納法について理解し，それを用いて簡単な命題を証明するとともに，事象の考察に活用すること。

［用語・記号］

Σ

(3) ベクトル 　ベクトルの基本的な概念について理解し，その有用性を認識するとともに，事象の考察に活用できるようにする。

ア　平面上のベクトル

(ア) ベクトルとその演算 　ベクトルの意味，相等，和，差，実数倍，位置ベクトル及びベクトルの成分表示について理解すること。

(イ) ベクトルの内積 　ベクトルの内積及びその基本的な性質について理解し，それらを平面図形の性質などの考察に活用すること。

イ　空間座標とベクトル 　座標及びベクトルの考えが平面から空間に拡張できることを知ること。

３　内容の取扱い

(1) この科目は，内容の(1)から(3)までの中から適宜選択させるものとする。

第６　数学活用

１　目標 　数学と人間とのかかわりや数学の社会的有用性についての認識を深めるとともに，事象を数理的に考察する能力を養い，数学を積極的に活用する態度を育てる。

２　内容

(1) 数学と人間の活動 　数学が人間の活動にかかわってつくられ発展してきたことやその方法を理解するとともに，数学と文化とのかかわりについての認識を深める。

ア　数や図形と人間の活動 　数量や図形に関する概念などと人間の活動や文化とのかかわりについて理解すること。

イ　遊びの中の数学 　数理的なゲームやパズルなどを通して論理的に考えることのよさを認識し，数学と文化とのかかわりについて理解すること。

(2) 社会生活における数理的な考察 　社会生活において数学が活用されている場面や身近な事象を数理的に考察するとともに，それらの活動を通して数学の社会的有用性についての認識を深める。

ア　社会生活と数学 　社会生活などの場面で，事象を数学化し考察すること。

イ　数学的な表現の工夫 　図，表，行列及び離散グラフなどを用いて，事象を数学的に表現し考察すること。

ウ　データの分析 　目的に応じてデータを収集し，表計算用のソフトウェアなどを用いて処理しデータ間の傾向をとらえ予測や判断をすること。

３　内容の取扱い

(1) この科目の指導に当たっては，数学的活動を一層重視し，身近な事例を取り上げるなど生徒の主体的活動を促すとともに，コンピュータなどを積極的に活用した学習が行われるよう配慮するものとする。

(2) 内容の(1)のアについては，数学における概念の形成や原理・法則の認識の過程と人間の活動や文化とのかかわりを中心として，数学史的な話題及びコンピュータを活用した問題の解決などを取り上げるものとする。

(3) 内容の(2)のアについては，経済にかかわる話題なども取り上げるものとする。

第３款　各科目にわたる指導計画の作成と内容の取扱い

１　指導計画の作成に当たっては，次の事項に配慮するものとする。

(1) 「数学Ⅱ」，「数学Ⅲ」を履修させる場合は，「数学Ⅰ」，「数学Ⅱ」，「数学Ⅲ」の順に履修させることを原則とすること。

(2) 「数学Ａ」については，「数学Ⅰ」と並行してあるいは「数学Ⅰ」を履修した後に履修させ，「数学Ｂ」については，「数学Ⅰ」を履修した後に履修させることを原則とすること。

(3) 各科目を履修させるに当たっては，当該科目や他の科目の内容及び理科，情報科，家庭科等の内容を踏まえ，相互の関連を図るとともに，学習内容の系統性に留意すること。

２　内容の取扱いに当たっては，次の事項に配慮するものとする。

(1) 各科目の内容の［用語・記号］は，当該科目で扱う内容の程度や範囲を明確にするために示したものであり，内容と密接に関連させて扱うこと。

(2) 各科目の指導に当たっては，必要に応じて，コンピュータや情報通信ネットワークなどを適切に活用し，学習の効果を高めるようにすること。

３　指導に当たっては，各科目の特質に応じ数学的活動を重視し，数学を学習する意義などを実感できるようにするとともに，次の事項に配慮するものとする。

(1) 自ら課題を見いだし，解決するための構想を立て，考察・処理し，その過程を振り返って得られた結果の意義を考えたり，それを発展させたりすること。

(2) 学習した内容を生活と関連付け，具体的な事象の考察に活用すること。

(3) 自らの考えを数学的に表現し根拠を明らかにして説明したり，議論したりすること。